Desafío - Identidad Trigonométrica

Respuesta:

Plan: 1) Expresar el numerador como Suma POR Diferencia,

2) Simplificar,

3) Recordar una Identidad Trigonométrica Fundamental.

Alternativa A)
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Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II Geometría.
CMO: Trigonometría. Identidades Trigonométricas. Identidades Trigonométricas Fundamentales.

Desafío - Probabilidades

De una caja que contiene 4 corbatas negras, 5 azules y 6 verdes, se extraen al mismo tiempo dos corbatas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?

A) 45/60
B) 12/225
C) 12/210
D) 36/117
E) 6/45

Respuesta: La caja tiene un total de
(4 corbatas negras) + (5 corbatas azules) + (6 corbatas verdes) = 15 corbatas.

Haremos el ejercicio de dos formas: Sin usar combinatoria y usándola:

Primero: CALCULO de la PROBABILIDAD sin COMBINATORIA:

Según de Ley de Laplace, la probabilidad es el cuociente entre los Casos favorables y los Casos Posibles (Totales):

Ley de Laplace = (Casos Faborables)/(Casos Posibles)

Casos Favorables: Se deberán tomar 2 corbatas de las 4 corbatas negras.
Casos Posibles: Se deberán tomar 2 corbatas de las 15 en total que hay.

Si tomamos 2 corbatas de 4, la primera la podemos elegir de entre 4, la segunda de entre 3 corbatas, luego hay 4 x 3= 12 casos favorables.

Si tomamos 2 corbatas de entre 15, la primera la podemos tomar de entre 15 y la segunda de entre 14, luego hay 15 x 14=210 casos posibles totales, luego

Probabilidad Pedida es = 12/210

Alternativa C)

Segundo: EL MISMO EJERCICIO UTILIZANDO NÚMEROS COMBINATORIOS:

Los Casos Favorables lo dan las Combinaciones de 4 sobre 2:

Los Casos Posibles (Totales) lo dan las Combinaciones de 15 sobre 2:

La Probabilidad Pedida es:

Solución nuevamente confirmada: Alternativa C)

Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: Ley de Laplace, Técnicas de Conteo

Desafío - Principio Multiplicativo

En el experimento aleatorio: "lanzar 3 dados y observar el resultado que aparece en cada uno de ellos", la cantidad de puntos muestrales que tiene el espacio muestral es:

A) 216
B) 36
C) 18
D) 6
E) 3

Respuesta: El primer dado tiene 6 posibilidades, el segundo otras 6 y el tercero también 6 posibilidades. Luego, por el Principio Multiplicativo hay 6 x 6 x 6 = 216 posibilidades totales.

Alternativa A)

EXPLICACION del Principio Multiplicativo:

Veamos un ejemplo sencillo que aclare por qué esto de multiplicar. Supongamos que tengo 2 pares de zapatos (uno negro y otro café) y tres camisas (lila, roja, verde). ¿Cuáles son las posibilidades de vestirme?

zapato negro - camisa lila

zapato negro - camisa roja

zapato negro - camisa verde

zapato café - camisa lila

zapato café - camisa roja

zapato café - camisa verde

HAY 6 posibilidades, eso lo dice el principio Multiplicativo:
2 posibilidades de zapatos x 3 posibilidades de camisas=
2 x 3 = 6 posibilidades totales.

Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: a. Variable Aleatoria.

Desafío - Representación de un EVENTO

En un paruqe de diversiones, una persona hace un disparo sobre cada uno de tres patitos, anotando b si derriba al patito y x si no lo derriba. El evento de "derribar al menos un patito" está representado por:

A) {xxx}
B) {xxb, xbx, bxx}
C) {xxx, bbb, xbx}
D) {bbx, bxb, xbb}
E) {bxx, xbx, xxb, bbx, bxb, xbb, bbb}

Solución:

Derribar "almenos un patito" significa que en tres tiros puede eliminar uno, dos e incluso los tres patitos.

Sin construimos triadas o vectores o trios ordenados con la siguiente extructura:

(primer tiro, segundo tiro, tercer tiro)

Podemos tener las siguientes soluciones:

ELIMINAR ALMENOS UN PATITO : Caso ELIMINAR UNO:

{bxx, xbx, xxb} porque es único patito puede ser eliminado en cada uno de los tres disparos.

NOTA: suelen los(as) educandos quedarse en este análisis y responder EQUIVOCADAMENTE como correcta la alternativa B) .... NO hay que olvidar que dice "derribar AL MENOS un patito", por lo tanto también valen los casos de eliminar 2 o 3 patitos ....

ELIMINAR ALMENOS UN PATITO : Caso ELIMINAR DOS:

{bbx, xbb, bxb} Las combinaciones posibles para eliminar 2 patitos.

ELIMINAR ALMENOS UN PATITO: Caso ELIMINAR TRES:

{bbb} La única forma deeliminar a los tres en los tres tiros.

Luego, considerando los tres casos

{bxx, xbx, xxb, bbx, bxb, xbb, bbb}: REPRESENTA todas lasposibilidades ciertas del evento: "derribar al menos UN patito"

Alternativa E)


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Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: a. Variable Aleatoria.

Desafío - Variable Aleatoria

¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (o son) falsa(s) ?

I) Una variable discreta es aquella que toma infinitos valores.
II) Una muestra de una población no se debe escoger al azar.
III) Una variable continua es aquella que toma un conjunto finito de valores.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II, III

Solución: Vamos a analizar cada una de las tres proposiciones:

Análisis de I) Una Variable Aleatoria Discreta es aquella que puede tomar solo un número limitado de valores numerables. De otra forma, se dice que una variable es discreta, si su recorrido es discreto, lo que se contradice con "tomar infinitos valores". Esta proposición es FALSA.

Análisis de II) Si no se escoge al azar, habrá un criterio de elección que hace que la muestra esté sesgada en torno a ese criterio. Una muestra, para ser VERDADERAMENTE REPRESENTATIVA, DEBE ser al azar.

Imaginemos preguntar por una candidatura presidencial en un sólo estrato social, esto sesgaría la muestra y NO lograría ser verdaderamente representativa.

Esta proposición es FALSA!

Análisis de III) Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomat cualquier valor dentro de un intervalo dado de valores no numerables. Dicho de otro modo, el conjunto de valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Para el caso de la estatura, que es una variable continua por ejemplo entre 0 y 2,5 metros (por poner dos cotas)- las estaturas posibles que se pueden escoger en este intervalo son infinitas. Esto contradice lo de "toma un conjunto finito de valores".

Esta proposición es FALSA!

I) , II) , III) son FALSAS, Alternativa E)

Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: a. Variable Aleatoria.

Desafío - Raíces de la Ecuación de 2do. Grado

¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones tiene(n) raíz (solución) igual a cero?

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II, III

Respuesta: Responderemos en dos pasos:

Primer Paso: Expresemos las tres expresiones I), II), y III) como el producto de dos factores:

I) ya está lista! : x(x-5) = 0

II) No está lista, debemos factorizar por "x":

III) No está lista, debemos trasponer el 7x, para luego factorizar por "x". Recordemos que el 7x, al cambiar de lado pasa con signo negativo:

Segundo Paso : Recordamos que, cuando un producto es igual a cero, pueden ser cero cada uno de sus factores o incluso ambos ....

En los tres casos, uno de los factores es "x", solita,

I) x(x-5) = 0
II) x(3x+4)=0
III) x(2x-7)=0

por tanto, en los tres casos una raíz es cero.

Son verdaderas I), II) y III). Alternativa E)



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Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Álegbra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: a. Función Cuadrática.

Así linkean este modesto blog !!!!!

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Desafío - Ordenar de menor a MAYOR

Al ordenar de menor a mayor los números a,b, c arriba adjuntos, se obtiene:

A) a - c - b

B) a - b - c

C) c - b - a

D) c - a - b

E) b - a - c

Respuesta: Sabemos que podemos aproximar:

El más grande es "a" y como van de menor a MAYOR, entonces la correcta es Alternativa C)

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Fuente: Libro Ejercicios - PSU Matemáticas - Cid Figueroa

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Raíces cuadradas.

Desafío - Ecuaciones Exponenciales

Si

Entonces:
Alternativas:




Respuesta: ¿ Por qué se me ocurre elevar al cuadrado la expresión? Porque en las respuestas, en CADA una de ellas está la expresión al cuadrado .... tuego, tras observarla, descubro que debo trasponer el término libre 2, para lograr lo que me piden .... echa un OJO PIOJO!

Alternativa B)

Fuente: Libro Ejercicios - PSU Matemáticas - Cid Figueroa

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuaciones Exponenciales ....

No todo es estudio ..... Raíces

Voceando este sitio WEB en la calle ....

Ayer repartñi volantes en PROVIDENCIA, pero no me fue tan BIEN porque como era el primer día de clases, los estudiantes fueron dejados salir de sus coles, muy temparno !!!!

Deasfío - Estadísticas

Las notas de matemáticas de Juan durante el primer semestre son las siguientes:

7,0 ; 6,6 ; 4,4 ; 5,0 ; 7,0

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La media es 6,0
II. La moda es 7,0
III. La mediana es 4,4

A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II, III.

Respuesta: Calculemos o encontremos:

I) La media = (7+6,6+4,4+5+7)/5 = 6 VERDADERA

II) La moda es 7, es el dato que más se repite, dos veces! VERDADERA

III) La mediana: ordenemos los datos de manor a MAYOR:

4,4 - 5,0 - 6,0 - 7,0 - 7,0

La mediana es el dato central en una muestra de tamaño impar: 6,0 - FALSA

Alternativa C) Sólo I y II

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Fuente: Libro Ejercicios - PSU Matemáticas - Cid Figueroa
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Estadígrafos.

Desafío - Concepto de Moda

Una moneda ha sido lanzada 40 veces obteniendo 22 sellos. ¿Cuál es la MODA ?

A) 18
B) 20
C) 22
D) cara
E) sello.

Respuesta: La moda es el dato que más se repite, NO cuantas veces se repite. En este caso es el sello que está 22 veces, puesto que la cara ha salido sólo 18 veces.

La MODA es sello. Alternativa E)

Fuente: Libro Ejercicios - PSU Matemáticas - Cid Figueroa
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Estadígrafos.

Desafío - Concepto Mediana

¿Cuál es la MEDIANA de los siguientes datos?

13 - 5 - 7 - 9 - 5 - 13 - 7

A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 13

Respuesta: Para encontrar el valor de la Mediana de una muestra dada, debemos ordenar los datos que recibimos, hagámosle de menor a MAYOR (puede ser al revés): OJO: aquí es importante NO perder ningún dato y ponerlos en estricto orden:

5 - 5 - 7 - 7 - 9 - 13 - 13

Como la cantidad de datos es impar (7 datos), la Mediana será justo el dato central: 7

Alternativa A)

Fuente: Libro Ejercicios - PSU Matemáticas - Cid Figueroa
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Estadígrafos.

Desafío - Estadística

Se tienen los siguientes datos:

20; 15; 13; 11; ___

¿Cuál faltaría para que la media de los 5 datos fuese 14?

A) 1
B) 10
C) 11
D) 14
E) 21

Respuesta: llamemos X a ese dato que falta, entonces, haciendo uso de la fórmula de la Media o Promedio Aritmético (lo que generará una ecuación para X) tendremos:

Alternativa C)

Fuente: Libro Ejercicios - PSU Matemáticas - Cid Figueroa
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Estadígrafos.