Desafío - Angulo en la Circunferencia

En la figura O es el centro de la circunferencia. Entonces, ¿el ángulo x mide?

A) 20º

B) 100º

C) 120º

D) 140º

E) 160º

Respuesta: Alternativa D)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. geometría.

CMO: Ángulos en la Circunferencia.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

O es el centro de la circunferencia. Entonces, ¿ el ángulo x mide ?

A) 22,5º

B) 27,5º

C) 32,5º

D) 50º

E) 65º

Respuesta: El arco que subtiende el ángulo inscrito de 10º mide 20º.

En águlo x subtiende (20+45) = 65º. Luego, el ángulo x mide la mitad.

Alternativa C)

Fuente: 2do. Medio - Eduardo Cid Figueroa.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulos en la Circunferencia.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia.

En la figura, O es el centro, entonces el ángulo x mide?

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 60º

E) 90º

Respuesta:

Fuente: Texto Segundo Medio - Eduardo Cid Figueroa

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría

CMO: Ángulos en la Circunferencia.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

En la figura, O es el centro de la circunferencia, entonces el valor del ángulo alfa siempre es igual al valor del ángulo:

A) CAB

B) CBD

C) ECB

D) ABE

E) BEC

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: Editorial Universitaria - DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: ängulos en la Circunferencia.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

Respuesta:

Fuente: Recopilación A. Sánchez

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulos en la Circunferencia.

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Concepto: Ángulo del Centro

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Angulo%20del%20Centro

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

En la figura de arriba, Trazos PR y PQ son tangentes a la circunferencia de centro O. Si el ángulo POQ mide 60º, entonces el ángulo OPR mide=?

A) 15º

B) 20º

C) 30º

D) 45º

E) 60º

Respuesta: OJO que al lanzar desde un punto externo dos tangentes a un círculo, estas son de igual magnitud. Además forman un ángulo recto con los radios de contacto .... Por poseer los triángulos dos trazos tangentes iguales, dos radios iguales y un trazo en común (desde el punto externo hasta O), entonces, los triángulos amarillo y violeta son congruentes .... Luego al ángulo pedido mide 30º.

Fuente: Faccímil P.Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II Geometría.

CMO: Ángulos en la Circunfenercia.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

En la figura se tiene un semicírculo de centro O y ángulo BAC = 20º. El valor del ángulo x es:

A) 20º
B) 35º
C) 40º
D) 55º
E) 70º

Respuesta: La respuesta está dada en la siguiente figura y vamos a dar una secuencia de pasos en donde se muestra como se construyó la respuesta. La Alternativa Correcta es la B)

Ud. puede construir la imagen en grande y vaya siguiendo los siguientes pasos:

1) Se completa la figura con el valor del ángulo BAC, que es de 20º.

2) Se completa la figura con el ángulo ACB, que es de 90º, por estar el ángulo inscrito en una semicircunferencia.

3) Se completa la figura con el ángulo celeste, que es de 90º, porque es suplementario a otro ángulo marcado como de 90º.

4) Trazo AO es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (ángulo recto en el ángulo celeste). Por tanto, ángulo DOA debe medir 70º.

5) Si ángulo DOA mide 70º, entonces el ángulo DOB mide 110º.

6) Por lo anterior, el arco BCD mide 110º, pues se corresponde con el ángulo del centro BOD, es decir, un ángulo del centro mide igual que el arco que subtiende.

7) Si el ángulo CAB mide 20º, entonces en arco BC mide 40º.

8) Si arco BC mide 40º y Arco BCD mide 110º, entonces Arco CD mide 70º.

9) Luego el ángulo x debe medir 70º/2 = 35º, porque es inscrito en el arco DC.

Alternativa B)

Fuente: DEMRE.
NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulo del Centro, Ángulo Inscrito, Ángulo Inscrito en Semicircunferencia.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

En la figura PB y PC son tangentes a la circunferencia de centro O. ¿ Cuál de las siguientes es una relación entre alfa y beta ?

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: PSU - Mates - PreU.P.Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulos en la Circunferencia.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: Faccímil PSU - La Nación 2009

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulo del Centro y Ángulo Inscrito en Circunferencia.

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Concepto: Ángulo del Centro y Ángulo Inscrito:

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Desafío - Medida de Arco

En la circunferencia de la figura: X es punto medio del arco AB. ¿ Cuál es la medida del arco AX ?

A) 31º

B) 62º

C) 15º 30'

D) 159º

E) 79º 30'

Respuesta: Si el ángulo inscrito ACB Mide 31º, el án

gulo del centro que se le asocia mide 62º. Los arcos miden iguales a sus ángulos del centro asociados, por tanto el arco (AB) mide 62º, su mitad, el raco (AX) mide 31º. Esto se nota en la siguiente imagen:

Fuente: Manual PAA - U.Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: d. Ángulos del Centro e Inscrito.

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Concepto: Ángulo del Centro y Ángulo Inscrito:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Angulo%20Inscrito

Desafío - Ángulo Exterior y Ángulo SemiInscrito

Para Quary, que me dejó una petición en los comentarios:

Para este Ejercicio, recordamos que:

1) Ángulo Seminscrito: El ángulo seminscrito en una circunferencia es congruente con el ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, luego medirá la mitad del ángulo del centro asociado.

2) Ángulo Exterior: la medida del ángulo Exterior a una circunferencia equivale a la semidiferencia de las medidas angulares de los arcos que dicho ángulo intersecta en la circunferencia.

Alternativa B)

Fuente: Manual PSU Matemáticas - U.Católica

NEM: Segundo Medio

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulos en la Circunferencia.

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Concepto: Ángulo Seminscrito:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Angulo%20Semi-Inscrito

Concepto: Ángulo Exterior:

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Desafío - Estrella

Las cuerdas AB, BC, CD, DE, y EA son todas congruentes. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos marcados en la figura adjunta ?

A) 36º
B) 72º
C) 108º
D) 120º
E) 180º

Respuesta: Haga doble click en la figura de más abajo para verla más grande:


Nótese que los arcos AB, BC, CD, DE y EA cubren el 100% de la circunferencia y todos son congruentes .... Por tanto, cada uno de ellos medirá: 360º : 5 = 72º ....


Por otra parte, los ángulos achurados de VERDE son inscritos, es decir: medirán la mitad de los arcos que subtienden, que son justamente los arcos AB, BC, CD, DE y EA (cada uno de ellos valiendo 72º).

Luego, cada uno de los ángulos achurados verde mide: 72/2 = 36º, pero como nos piden 3, entonces la suma es: 3 x 36º = 108º .... veamos (aunque sea con lupa) !



Alternativa C)

Fuente: Manual PSU Matemáticas - U.Católica
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Ángulo del Centro y Ángulo Inscrito.
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Link al Diccio-Mates
Concepto: Ángulo Inscrito y Ángulo del Centro:
http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Altura%20Tri%C3%A1ngulo%20Equil%C3%A1tero%20Lado%20a

Desafío - Ángulo Inscrito y Ángulo del Centro

O: es el centro de la Circunferencia.

Calcular el valor del ángulo "x"

Respuesta:

Alternativa B)

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Fuente: Manual PAA - 1996 - Universidad Católica
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Ángulo Inscrito, Álgulo del Centro.

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Concepto: Ángulo Inscrito, Ángulo del Centro

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Angulo%20del%20Centro

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

O: Centro de la Circunferencia.

ARCOS: AB, BC, CD y DE miden igual.

Calcular el valor del ángulo x

A) 90º

B) 60º

C) 30º

D) 45º

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

Como el ángulo con vértice en P es inscrito, el arco CE mide el doble de 15º = 30º

Luego, los arcos CD y DE miden 15º gracdos cada uno, lo mismo con los arcos AB, BC y CD, cada uno de ellos mide 15º.

Luego el

ángulo x = Arco AB + Arco BC + Arco CD =

= 15º + 15º + 15º = 45º

Alternativa D)

Fuente: Manual PAA - 1996 - Universidad Católica

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulo Inscrito, Álgulo del Centro.

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Link al Diccio-Mates

Cocepto: Ángulo del Centro - Ángulo Inscrito

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Angulo%20del%20Centro

Desafío - Ángulo en la Circunferencia

Fuente: Texto Estudiante - Cid Figueroa - 2do. Medio

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. geometría.

CMO: Ángulos de Centro e Inscrito.

Desafío - Geometría

Respuesta: Mediante este dibujo -final- resolví el problema:

Pero veamos paso a paso:

Alternativa C)

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Fuente: DEMRE - 2003

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulos del centro e inscritos. Ángulos opuestos por vértice ....

Desafío - Propiedades angulares en la circunferencia

O es el centro de la circunferencia, calcular el valor del ángulo x.

A) 25º
B) 40º
C) 50º
D) 70º
E) 80º

Respuesta: Recordamos que un ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo del centro que se le asocia.

ENTONCES: El arco que subtiende el ángulo inscrito X está formado por dos partes. 20 º del ángulo del centro + 60º del ángulo inscrito de 30º (porque el ángulo del centro que le corresponde es el doble de 30º) .... Pero el ángulo X es inscrito, por tanto medirá la mitad de (20º + 60º) = 40º
Alternativa B)
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Fuente: Geometría para Enseñanza Media - Cid Figueroa Eduardo.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: d. Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia.