Desafío - Rectas Perpendiculares

¿ Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta perpendicular a la recta de ecuación 8x + 6y = 5 ?

A) 3x - 4y = 5

B) y = 1 - (3/4)x

C) y = (4/3)x + 2

D) 4x+ 3y = 2

E) y = (4/3)x

Respuesta: Veamos paso a paso:

1) Buscamos la pendiente a la recta: 8x + 6y = 5

6y = -8x + 5

y = (-8/6)x + 5/6

y = (-4/3)x + 5/6, de acá la pendiente es -4/3 (factor que acompaña a x en el despeje)

La recta que SEA perpendicular a la anterior recta, necesariamente debe tener pendiente: 3/4, para que (3/4)(-4/3) = -1

Eso sucede en la alternativa A)

veamos: Ecuación de Alternativa A): 3x - 4y = 5

despejando: 3x - 5 = 4y

luego: (3/4)x - 5/4 = y

Alternativa A)

Fuente: Manual PSU - U.Católica

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Geometría Analítica. Rectas Perpendiculares.

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Link Al Diccio-Mates

Concepto: Rectas Perpendiculares.

Link: http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Recta%20Perpendicular

Desafío - Pendiente de una recta

Respuesta: Veamos una a una las alternativas:

I) L1 tiene pendiente nula: FALSA, para pendiente nula, debe ser paralela al eje Abcisas.

II) L2 tiene pendiente positiva: VERDADERA. Inclinación, entre 0º y 90º (excluidos), en el sentido contrario a la marcha del reloj, es pendiente POSITIVA.

III) L3 carece de pendiente: FALSA, si tiene pendiente, es nula!

Alternativa B)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Geometría Analítica. Pendiente de una Recta.

Desafío - Geometría Analítica

Le ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (5,-2) y que es paralela a la recta de ecuación 3x - 5y = 0 es:

A) 3x - 5y + 25 = 0

B) 3x - 5y -10 = 0

C) -3x + 5y -25 = 0

D) 3x - 5y + 25 = 0

E) 3x - 5y - 25 = 0

Respuesta: Para que sea paralela a la recta dada, deben tener la misma pendiente. Veamos esa pendiente:

3x - 5y = 0

3x = 5y

y= (3/5)x

Luego tenemos una pendiente: m = 3/5, y que la recta pasa por el punto (5,-2)

y - (-2) = (3/5)(x-5)

multiplicamos por 5 la ecuación:

5(y+2) = 3(x-5)

5y + 10 = 3x - 15

3x - 5y -25 = 0

Alternativa E), si no hubiese equivocaciones!

Fuente: Manual matemáticas PSU - U.Católica

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Ecuación de la Recta

Para que los puntos (1,1) y (2,3) pertenezcan al gráfico de la función f(x)=mx + n, el valor de (m-n) debe ser:

A) 3

B) 1

C) 0

D) -1

E) -3

Respuesta: Si los puntos perteneces a la recta: y = mx + n, entonces reemplazando

(x1,y1) = (1,1)

(x2,y2) = (2,3)

tendremos:

(a) : para punto (x1,y1) : 1 = m(1) + n

(b): para punto (x2,y2) : 3 = m(2) + n

(a) 1 = m + n

(b) 3 = 2m + n

Restando (a) de (b): 2 = m

luego reemplazando en (a):

1 = 2 + n

n = -1

Entonces m - n = 2 -(-1) = 3 ; Alternativa A)

Fuente: Faccímil PSU - P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Ecuación de la Recta.

Desafío - Grafos de Funciones

Respuesta:

Grafiquemos las dos funciones con Geogebra:

Fuente: DEMRE.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática. Desplazamiento.

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Curriculum Ajustado:

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: II. Álgebra.

CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Variable Dependiente, Variable Independiente

Las escalas Celcius y Farenheit para temperatura, se relacionan mediante la anterior igualdad. ¿Cuál es la pendiente de la recta que resulta de graficar esta función Afín, si consideramos a C como la variable independiente?

A) 180

B) 100

C) 1/100

D) 5/9

E) 9/5

Respuesta: Estructuramos la ecuación de la forma: y = mx + n

En donde y (variable dependiente) es F además de que x (variable independiente) es C:

Alternativa E)

Fuente: 2do. Medio - Texto de Cid Figueroa Eduardo.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

Respuesta: Función Afín.

Desafío - Pendiente de una recta

La pendiente de la recta que pasa por los puntos (3,4) y (-1,2) es:

A) 1/2

B) -1/2

C) 2

D) 1

E) -2

Respuesta: llamemos:

(x1,y1)=(3,4)

(x2,y2)=(-1,2)

Fuente: Faccímil PSU - P.Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Ecuación de la Recta. Pendiente de la Recta.

Desafío - Pendiente de una recta

¿ Cuál(es) de las siguientes ecuaciones corresponde(n) a rectas de pendiente igual a 1/2 ?

I. x - 2y - 15 = 0

II. 2x + 5 = 4y

III. 2y = x - 11

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II, III

Respuesta: Despejemos cada una de las "y"

I.) y = (1/2)x - 15/2

II.) y = (2/4)x + 5/4 = (1/2)x + 5/4

II.) y = (1/2)x - 11/2

Las tres tienen pendiente (1/2) .... Alternativa E)

Fuente: PSU-2do.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Ecuación de la recta.

Desafío - Geometría Analítica

Una recta que contiene al punto (3,2), intersecta al eje de las ordenadas en el punto 1.

Otra recta paralela a la anterior contiene el punto (3,3).

¿ En qué punto la segunda recta intersecta al eje de las ordenadas?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Respuesta: La primera recta tiene las coordenadas: (3,2) y (0,1): Y- Intercepto. La pendiente de esta recta es:

Pendiente: (Delta Y)/(Delta X) = (Y2-Y1)/(X2-X1)= (1-2)/(0-3)= -1/-3 = 1/3

Luego la paralela debe tener la misma pendiente y pasar por el punto (3,3)

Esta recta es por la ecuación Punto-Pendiente:

y -3 = (1/3)(x-3) /Amplificando por 3

3y - 9 = x-3

3y = x+6

y= (1/3)x + 2 ; 2 es y-intercepto; Alternativa C)

Fuente: Faccímil PSU - La Nación 2009

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación de la Recta.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Ecuación de la Recta x 2 puntos:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Ecuación%20Recta%20por%202%20Puntos%20dados

Concepto: Ecuación de la Recta Punto Pendiente:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Ecuación%20Punto%20Pendiente

Desafío - Rectas Perpendiculares

¿ Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta perpendicular a la recta de ecuación: 8x + 6y = 5 ?

A) 3x - 4y = 5

B) y = 1 - (3/4)x

C) y = (4/3)x + 2

D) 4x + 3y = 2

E) y = (4/3)x

Respuesta: Para encontrar la pendiente de la recta dada, debemos despejar la variable "y" (dependiente):

8x + 6y = 5

6y = -8x + 5

y = (-8/6)x + 5/6

y = (-4/3)x + 5/6

Luego la pendiente de esta recta es -4/3, la pendiente de cualquier paralela debe ser 3/4, para que al multiplicar ambas pendientes de como resultado -1) : (-4/3)(3/4) = -1.

Vamos a ir despejando cada una de las ecuaciones hasta encontrar una opendiente de 3/4:

A) 3x - 4y = 5, despejamos:

3x - 5 = 4y

(3/4)x - 5/4 = y

Esta es la correcta, Alternativa A)

Fuente: Manual PSU - U.Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Geometría Analítica. Ecuación de la Recta.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Rectas Perpendiculares

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Recta%20Perpendicular

Desafío - Geometría Analítica

Sean los puntos:

A(-3,2)
B(-7,-1)

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La pendiente del trazo AB es 0,75
II) La longitud del trazo AB es 5.
III) El punto medio de trazo AB es (-5,1)

A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) I, II, III.

Respuesta: Vamos a revisar cada una de las sentencia I, II y III, para los puntos

Alternativa C) I y II verdaderas

Fuente: Educarchile - PSU
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Geometría Analítica.
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Links al Diccio-Mates:
Concepto: Pendiente:
http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Pendiente%20-%20Tangente
Concepto: Longitud de un Trazo - Distancia entre 2 Puntos
http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Distancia%20entre%202%20Puntos
Concepto: Punto Medio
http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Punto%20Medio

Si f(x) = mx + n, ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente, de modo que f(3) = 8 y f(2) = 6?

A) 1/2 y 5
B) - 1 y 1/2
C) 2 y 2
D) 1/2 y 13/2
E) 2 y 10

Respuesta:


Usando que f(3) = 8 :
8 = 3m + n


Usando que f(2) = 6
6 = 2m + n


tenemos un sistema de 2 x 2 para m y n:


Alternativa C)
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Fuente: DEMRE
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Ecuación de la recta.
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Link al Diccio-Mates
Concepto: Ecuación Principal de la Recta
http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Ecuaciones%20de%20la%20Recta

Desafío - Ecuación de la Recta

La Pendiente de la recta de gráfico de la figura es:

A) 5/2

B) -2/5

C) -5/2

D) 2/5

E) -3

Respuesta:

Método 1)

Calculemos simplemente m, la pendiente, acorde a lo que su concepto nos sugiere:

m = (Variación de Y)/(Variación de X)

Al pasar del punto (0,2) al punto (5,0) vemos que:

La variación de Y es negativa.

La variación de X es positiva.

Variación de Y = -2

Variación de X = 5

m = -2/5, Alternativa B)

Método 2) muy similar al anterior:

usamos la fórmula de la pendiente teniendo dos puntos:

(x1,y1) = (0,2)

(x2,y2) = (5,0)

m = (y2 - y1)/(x2-x1) = (0-2)/(5-0) = -2/5

Método 3)

Usamos el concepto de Ecuación por segmentos, que se retrata muy bien en el siguiente dibujo:

La idea es que los segmentos que la recta determina en los ejes X e Y nos sirven para contrar rápidamente la ecuación:

En nuestro caso los segmentos son 5 en eje X, 2 en eje Y, por tanto la ecuación por segmentos es:

x/5 + y/2 = 1, multiplicando por 10 para sacar los denominadores:

2x + 5y = 10 , Trasponiendo la "x"

5y = 10 - 2x, dividiendo por 5 para dejar libre la "y"

y = 2 + (-2/5)x

y = (-2/5)x + 2 ...... hacemos memoria con la forma: y = mx + n

de donde m, el factor que acompaña a la x es m=-2/5
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Fuente: Faccímil PSU Nro. 4 - Farías Gatica Reinaldo
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Ecuación de la Recta.

Desafío Universidad Católica - Ecuación de la Recta

Encuentre la pendiente de uan recta con ecuación

6x - 8y = 3.

A) -4/3
B) -3/4
C) 4/3
D) 3/4
E) 2

Respuesta: Para encontrar la pendiente de una recta, basta ponerla de la forma:

y = mx + n.

m es la pendiente!

Despejemos:

6x - 8y = 3

-8y = -6x + 3

y = (-6/-8)x + (3/-8)

y = (3/4)x - 3/8

m= 3/4

Alternativa D
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Fuente: Manual de Preparación Matemática - 2003. U.Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: c. Ecuación de la Recta.