¿ Cuál es el valor de x/y dado el anterior sistema ?

A) 1

B) -1

C) -1/2

D) 1/2

E) 2

Respuesta: Sumamos las 2 ecuaciones, para por reducción calcular x:

4x + 2x + y - y = 6 + 0

6x = 6

x=6/6

x=1

Luego, reemplazando en la primera ecuación:

4(1) + y = 6

y = 6 - 4

y=2

x/y = 1/2 ; Alternativa D)

Fuente: PSU - MareNostrum/P.Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones

CMO: Sistemas de Ecuaciones

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Respuesta: En este problema uno tiende a usar incógnitas auxiliares, pero es mucho más rápido resolverlos por simple inspección .... si sumamos ambas ecuaciones, se van las (1/y) y quedan dos (1/x) que es algo muy conveniente:

Sumamos entonces las dos ecuaciones término a término:

Alternativa C)

Fuente: PSU - Mare Nostrum/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones.

Ignacio tiene 5 tíos menos que Isidora y los tíos de Paula son 3 veces los de Ignacio. Si Isidora tiene "n" tíos, ¿ Cuál de las siguientes expresiones representa el número de tíos que tiene Paula ?

A) 5 - 3n

B) 3n

C) n - 5

D) 3n - 15

E) 3/n - 5)

Respuesta: hagamos la siguiente convención: llamemos

Ig a los tíos de Ignacio,

Is a los tíos de Isidora,

P a los tíos de Paula

y planteemos:

Ig = Is - 5 (Ignacio tiene 5 tíos menos que Isidora)

P = 3Ig (Los tíos de Paula son 3 veces los de Ignacio)

Pero como acá hay 3 incógnitas, nos dan una constante (aunque sea desconocida), nos dicen que Isidora tiene "n" tíos.

Luego, las anteriores ecuaciones se convierten a la luz de este dato en:

Ig = n - 5

P = 3Ig = 3(n-5) = 3n - 15

Alternativa D)

Fuente: Manual PSU - U. Católica

NEM: Segundo Medio.

Eje temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Romboide

La figura corresponde a un Romboide. Entonces ángulo "a" mide = ?

A) 20º

B) 40º

C) 60º

D) 70º

E) 90º

Respuesta: Un Romboide es un paralelógramo (un cuadrilátero -4 lados- que tiene los lados opuestos paralelos).

En los Paralelógramos -en general- se dan dos elementos:

1) Los ángulos opuestos son congruentes, en nuestro caso: (a+b=180º)

2) Los ángulos consecutivos son suplementarios, en nuestro caso: ({a-b}+{a+b}=180)

Esto da lugar a un sistema de ecuaciones (2x2), que nos permite obtener a y b.

(1) a+b=180

(2) a-b+a+b=180

(1) a+b=180

(2) 2a = 180

De acá, en forma directa sacamos que:

a = 90

Alternativa E)

Fuente: 2do.Medio - Eduardo Cid Figueroa.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones con Logaritmos

Si a y b son soluciones del anterior sistema, entonces (a)(b) vale:

A) 16,9

B) 19,6

C) 20,1

D) 22,5

E) 62,5

Respuesta: Trabajemos un poquito la ecuación logarítmica, que es en base 10 (logaritmo de Briggs):

De acá: x = 10y

Luego, reemplazando en la primera ecuación:

x + y = 27,5

1o y + y = 27,5

11y = 27,5

y= 27,5/11 = 2,5

x = 10(2,5) = 25

Comprobamos: log (25) - log (2.5) = log (25/2.5) = log 10 = 1 (OK, todo bien!)

Luego: (x)(y)=2.5(25) = 62.5

Alternativa E)

Fuente: CEPECH

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Logaritmos.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Dado el anterior sistema, el valor de Y es = ?

A) 0

B) 2b

C) 4b

D) 5a

E) 10a

Respuesta: Multiplicamos la segunda ecuación por (-1) para que se vayan las "x" y podamos despejar "y":

(1) x+y = 5a+2b

(2) -x+y = -5a + 2b

Sumando ambas ecuaciones

2y = 4b

y=2b

Alternativa B)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Media Aritmética

Dos números están en la razón 1:4. Si la media aritmética de ellos es 10, ¿Cuál es el menor de ellos?

A) 2

B) 4

C) 8

D) 16

E) 20

Respuesta: Sea M el Mayor y m el menor.

(1) m/M = 1/4

(2) (M+m)/2 = 10

de (1) m = M/4

en (2) arreglada: M + m = 20

M + M/4 = 20

Multiplicamos por 4

4M + M = 80

5M = 80

M = 80/5 = 16

luego: m = M/4 = 16/4 =4, Alternativa B)

NOTA: había un error en la solución anteriormente publicada, pero gracias a un(a) navegante, todo que dó resuelto! Garcias, el Blogger!

Fuente: PSU 4to.Medio - MareNostrum - P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio

Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.

CMO: Media

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Dos números son tales que su diferencia es 14 y su suma es 26. ¿Cuál es el doble del mayor?

A) 16
B) 12
C) 20
D) 30
E) 40

Respuesta: Sea X(Mayor) e Y(Menor) los números, tendremos entonces las siguientes ecuaciones:

Dos números son tales que su diferencia es 14: X - Y = 14

Su suma es 26: X + Y = 26

(1) X - Y = 14

(2) X + Y = 26

Sumando ambas ecuaciones:

2X + Y - Y = 14 + 26

2X = 40

X = 20, luego Y = 6

El doble del mayor es 40, Alternativa E)

Fuente: Texto E. Cid.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Rombo

En un rombo la suma de las diagonales es 14 cm y se sabe que el área no varía cuando la diagonal más corta aumenta en 2 cm y, al mismo tiempo, la diagonal más larga disminuye en 2 cm. El perímetro del rombo es de:

A) 14 cm

B) 15 cm

C) 16 cm

D) 20 cm

E) 24 cm

Respuesta:

Fuente: Faccímil PSU - Preu U. Católica

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones de 3 x 3

Entonces (a+b+c) = ?

A) 2

B) 6

C) 10

D) 15

E) 16

Respuesta: La verdad es que aquí NO se quiere la resolución paso a paso de un ssietma de 3 x 3. El ejercicio tiene un TRUCO. Ordenemos las ecuaciones de otra forma:

(1) 2a + b = 5

(2) 2b + c = 4

(3) 2c + a = 9

Ahora las sumamos las tres, sumando a cada lado de la igualdad:

2a + a + 2b + b + 2c + c = 5 + 4 + 9

3a + 3b + 3c = 18

3(a+b+c) = 18

(a + b + c) = 18/3 = 6

Alternativa B)

Fuente: Faccímil CEPECH.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álegbra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Si al numerador de una fracción se le suma 2 la fracción es (1/4); Si al denominador se le quita 6 la fracción resulta (1/6). La fracción es:

A) 1/4

B) 1/6

C) 4/6

D) 1/12

E) 1/24

Respuesta: Llamemos N al numerador, D al denominador:

(1) Si al numerador de una fracción se le suma 2, la fracción es (1/4):

(N+2)/D = 1/4

(2) Si al denominador se le quita 6, la fracción resulta (1/6):

N/(D-6) = 1/6

Multiplicando Cruzado y ordenando:

(1) 4N - D = -8

(2) 6N - D = -6

Multiplicamos (1) por (-1) y sumamos ambas ecuaciones:

(1) -4N + D = 8

(2) 6N - D = -6

2N = 2 ; entonces N=1

Reemplazando N en (1): 4(1) - D = -8 ; Entonces: D=12

La Fracción es 1/12 ; Alternativa D)

Fuente: El Mercurio - U. Sto. Tomás

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistemas de Ecuaciones

Si 3a + 2b = 22, 2a + 3c = 9, 3b + 2c = 4,

entonces 2a+2b+2c = ?

A) 6

B) 7

C) 9

D) 12

E) 14

Respuesta: Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas .... pero el truco no es intentar resolverlo, despejando alguna de las incógnitas para pasarlo a otro de 2 x 2 ....

Si uno dispone las ecuaciones de la siguiente forma:

3a + 2b = 22

2a + 3c = 9

3b + 2c = 4

y las sumamos, vemos que cada incógnita irá precedido del número 5:

5a + 5b + 5c = 35

dividimos por 5

a + b + c = 7

pero queremos 2a + 2b + 2c, entonces multiplicamos por 2:

2a + 2b + 2c = 14

Fuente: Faccímil PreU. P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Problema de Planteo

Dos números difieren en 28 y uno de ellos es ocho novenos del otro. ¿Cuál es el número mayor?

A) 252

B) 246

C) 224

D) 218

E) 190

Respuesta: Sea M el número MAYOR y m el número menor.

Entonces tenemos 2 aseveraciones según el planteo:

1) M-m = 28

2) m = (8/9)M

Poniendo 2) en 1): M - (8/9)M = 28

Multiplicamos por 9

9M - 8M = M = (28)(9) = 252

El Mayor es 252, Alternativa A)

y el menor es 224.

Fuente: PreU. P. de Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álegbra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - PSU DEMRE 2011 - 66

Un padre le dados Su Bijo la ONU: " El Dinero Que Tu Tienes ES EL 20 % del Dinero Que Tengo yo " . Se determinar PUEDE El Dinero Que Tiene CADA UNO de ELLOS SI SE SABE que:

(1) Entre Ambos Tienen 36.000 Dólares .
(2) El padre Tiene 24.000 Dólares Más hijo El ambiente!.

A ) (1) Por Sí Sola
B ) (2) Por Sí Sola
C ) Embajador juntas , (1) y (2)
D) Una CADA Por Sí Sola , (1) ó (2)
E) Se requiere Información adicional

Respuesta : El enunciado inicial Entre Una Ecuación de primera . Llamemos "P "Lo Que Tiene El Padre y " H "Lo Que Tiene El Hijo , entonces, del enunciado :

H = (20/100) P = 0,2 P

de (1) Otra heno Ecuación : P + H = 36.000. Y ESTA Ecuación Junto a la del enunciado Hacen de las Naciones Unidas Sistema de 2 x 2 de Ser Posible resuelto .

de (2) Otra heno Ecuación : P = H + 24.000. Y ESTA Ecuación Junto a la del enunciado Hacen de las Naciones Unidas Sistema de 2 x 2 de Ser Posible resuelto .

Una CADA Por Sí Sola, Alternativa D)


Fuente : PSU - Demre 2011 - Tema 67
NEM : Segundo Medio.
Eje Temático : I. Álgebra y Funciones .
OCM : Sistemas de Ecuaciones .

Desafío - PSU DEMRE 2011 - 65

Se tienen naranjas, tomates y papas que en conjunto pesan 3 kg. Se puede determinar el peso de las papas si se sabe que:

(1) Las naranjas y las papas, juntas pesan 2 kg.
(2) Los tomates y las papas, en conjunto pesan 1,750 kg.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

Respuesta: Aquí hay tres incógnitas, llamemos "n" a lo que pesan las naranjas, "t" a lo que pesan los tomates y "p" a lo que pesan las papas. El enunciado nos da una ecuación y cada una de las sentencias (1) y (2) nos dan otras 2 ecuaciones. Es posible resolver usando ambos conocimientos. Alternativa C)

Veamos, SIN RESOLVER, esas ecuaciones!

del enunciado: n + t + p = 3

de (1): n + p = 2

de (2): t + p = 1,75

Fuente: PSU - DEMRE 2011 - Item 65

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Respuesta:

Si (1,-3) es la solución del Sistema de ecuaciones, significa que dicho par debe cumplir cada una de las ecuaciones, porque esa es la condición del punto SOLUCIÓN.

Entonces (1,-3) debe cumplir la primera ecuación:

3(1) -m(-3) = 9

3+3m = 9

3m = 6

m = 2

Ahora exijamos que el punto cumpla la segunda ecuación, para encontrar de esa forma el valor de "n":

n(1) + 4(-3) = -11

n -12 = -11

n= 12-11 = 1

Luego m = 2, n=1, Alternativa C)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Respuesta:

Analicemos cada una de las ecuaciones de las rectas dadas:

(1) 3x + y = 4

Despejando:

y = -3x +4

Fíjese que la pendiente (-3) es negativa. Ojo que además el Y-Intercepto es 4.

Entonces esta es una recta de pendiente negativa que corta al eje Y en la ordenada 4.

De pendiente negativa y que corte al eje Y en 4 sólo hay rectas en las alternativas C) y D)

Se descartan las otras alternativas y usamos la ecuación (2) para discernir finalmente:

(2) y + x = 0

Despejando:

y = -x

Esta es una recta de pendiente negativa (-1), que corta al eje Y en cero. Esto solamente se ve en la alternativa D)

Si resolvemos el sistema, por igualación: (Aunque el ejercicio está resuelto)

-x = -3x + 4

2x = 4

x=2

SOLUCIÓN: (2,-2), en el cuarto cuadrante!

Luego y = -x = -2, Lo que corrobora la alternativa D) porque en ella la solución está en el cuarto cuadrante.

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Solución de un Sistema por Igualación:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Método%20de%20Igualación

Desafío - Sistema de Ecuaciones SIN SOLUCION

Respuesta: Veamos los contenidos teóricos en torno al análisis de las soluciones de un Sistema de Ecuaciones de 2 x 2: (tomado de http://diccio-mates.blogspot.com)

Y ahora apliquemos:

Alternativa C)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Respuesta:

Alternativa B)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Probabilidad

En un curso de 42 personas, los morenos y los rubios están en la razón de 5:2. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un alumno al azar éste sea rubio, considerando que sólo hay rubios y morenos en el curso?

A) 2/5

B) 1/6

C) 2/7

D) 1/7

E) 2/3

Respuesta: Sean R los Rubios y M los morenos ....

(1) R + M = 42

(2) M/R=5/2

Este es un sistema de ecuaciones, consistente, de 2 x 2

Dejemos en función de los Rubios:

de (2): M = (5/2)R

en (1):

R + (5/2)R=42

7R/2=42

R=12

Luego, la probabilidad de ser Rubio = 12/42 = 6/21=2/7 ; Alternativa C)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace.