Desafío - Probabilidades

Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numerados de 1 a 8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?

A) 7/8

B) 1/4

C) 1/2

D) 3/8

E) 5/8

Respuesta: Los impares y mayores que 3 son: 5 y 7, Por tanto la probabilidad pedida:

P(impar y mayor que 3) = 2/8 = 1/4

Fuente: DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Regla de Laplace.

Desafío - Probabilidad

Las muestras de ciertas pinturas son de uno de estos tres colores: rojo, verde o azul, y con una de estas dos terminaciones: opaca o brillante. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una muestra de pintura al azar, esta sea de color verde-opaco?

A) 1/6 ; B) 1/3 ; C) 1/2 ; D) 2/3 ; E) 5/6

Respuesta:

Primera forma de razonar:

Por el principio multiplicativo, hay (3x2) posibles combinaciones. (3 colores por 2 opacidades), y sólo una de ellas es la que nos sirve, entonces, por la Regla de Laplace la probabilidad es 1/6.

Segunda forma de razonar:

veamos los casos, enumerémoles, que es posible:

rojo-opaco, rojo-brillante, verde-opaco, verde-brillante, azul-opaco, azul-brillante ... y sólo una de 6 nos sirve: Probabilidad = Favorables/Posibles = 1/6, Alternativa A)

Fuente: Texto 1ro. Medio - 2010 - Santillana Bicentenario.

NEM: Segundo Medio (Currículum No ajustado).

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace. Principio Multiplicativo.

Desafío - Probabilidad

Se tiene un dado poliédrico regular de n caras, cada una de ellas numerada correlativamente de 1 a n. Si se lanza el dado una vez, la probabilidad de que resulte el número n es:

A) 1

B) n

C) 1/n

D) 1 - 1/n

E) (1/n)(1/n)

Respuesta:

Que salga el número "n" es una posibilidad entre "n", por tanto la probabilidad es 1/n.

De forma similar a lo que ocurriría al tener un dado de 6 números, numerados correlatrivamente de 1 a 6. Así, la probabilidad de que salga "6" es 1/6.

Alternativa C)

Fuente: Faccímil PSU - La Tercera - 2004

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Probabilidad. Regla de laplace.

Desafío - Probabilidades

La estructura de caminos anterior, está dispuesta como plano inclinado. Por esta estructura de caminos se deja deslizar una bolita. Suponiendo que la bolita no está cargada y los caminos poseen igual rugosidad e inclinación ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita llegue al punto A ?

A) 1/2

B) 1/4

C) 1/3

D) 1/5

E) No se puede calcular.

Respuesta: Veremos tres formas de pensar este ejercicio:

Primera forma de pensar)

Como la bolita es completamente homogénea, en cada bifurcación tiene probabilidad (1/2) de escoger alguno de los caminos que se le abren. Así, en la primera bifurcación, tiene probabilidad (1/2) de ir a la derecha y (1/2) de ir a la izquierda.

Luego, tomado cualquiera de los dos caminos, tiene nuevamente probabilidad (1/2) de ir por cualquiera de los caminos que nuevamente se ofrecen:

Que la bola tome el camino de la izquierda, en la primera bifurcación (primer suceso) y luego en

la segunda bifurcación vuelva a tomar el camino de la izquierda (segundo suceso), son sucesos INDEPENDIENTES, por tanto, que sucedan ambas cosas es el producto (1/2) x (1/2) = 1/4

La probabilidad final será la suma de las probabilidades 1/4 y 1/4 = 1/2

Segunda forma de pensar)

La otra forma de visualizar este ejercicio es pensar con ayuda del método hidráulico. Pensamos en que tenemos "un litro" de "FLUIDO PROBABILISTICO" y la regla -dada las condiciones de simetría del problema- es que en cada bifurcación, el líqudio que llega se reparte en dos porciones iguales, veámoslo en el siguiente esquema:

Fíjate que el fluido probabilístico final suma "1 litro", el litro que se reparte inicialmente. En "A" hay 1/4 + 1/4 = 1/2 = 50 %.

Tercera forma de pensar)

Pensemos en que a la entrada tenemos 4 pelotas .... y estas se van a ir repartiendo por mitades .... así luego de la primera bifurcación, habrán 2 pelotas en cada camino .... más tarde, las dos se dividirán en una para cada una de las bifurcaciones del segundo nivel. Así, al punto "A" llegan 2 de las cuatro pelotas originales ..... eso es un 50 % del total, la probabilidad es un 50 %.

Por tanto, por las tres formas de pensar, la probabilidad de estar en "A" es del 50%, o 0,5.

Fuente: 2do. Medio - Gonzalo Riera.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Probabilidad.

Desafío - Lanzamiento de 2 dados

Se lanzan dos dados, cuál es la probabilidad de que la suma sea 7.

A) 7/36

B) 1/2

C) 1/6

D) 1/4

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

En el lanzamiento del primer dado tenemos 6 posibilidades.

En el lanzamiento del segundo dado tenemos otras 6 posibilidades.

Hay un total de 6 x 6 posibilidades totales, por el principio multiplicativo.

Formemos gráficamete todas las combinaciones posibles que suman 7, al lanzar dos dados:

Hay 6 casos favorables de un total de 36 posibles:

6/36 = 1/6 ;Alternativa C)

Fuente: 2do. Medio - Gonzalo Riera.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Regla de Laplace.

Desafío - Probabilidad

¿ Cuál de las siguientes alternativas es falsa ?

A) Un experimento aleatorio tiene como propiedad principal que su resultado no se puede predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles.

B) El valor de la probabilidad de un evento varía de cero a uno.

C) La probabilidad de un evento, en porcentaje tiene como valor mínimo 0% y cómo máximo 100%.

D) La probabilidad de un evento, es igual al número de casos favorables del evento dividido por el número de casos no favorables.

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta: veamos una a una las expresiones:

A) Esa es la definición de Experimento Aleatorio. VERDADERA!

B) Esos son los límites de la probabilidad, el intervalo: {0,1} incluidos extremos. VERDADERA!

C) Lo mismo que en B), los límites porcentuales de la probabilidad: {0%, 100%}. VERDADERA!

D) FALSA.

Lo que es verdadero es esto:

Probabilidad Clásica: Si en un experimento aleatorio, todos los resultados son equiprobables (igual probabilidad), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente probable que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces la probabilidad de un evento A es la razón:

P(A) = {Número de casos favorables para A}/{Número Total de casos posible}

E) Esta ya no sirve porque la anterior es la FALSA buscada!

Alternativa D)

Fuente: Taller Matemáticas - 8avo. - Santillana Bicentenario.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas

CMO: Probabilidad. Conceptos Básicos Probabilidad.

Desafío - Probabilidad

Se lanza un dado 3.000 veces. El número de veces en que aparece un número par mayor que 3 se puede estimar en:

A) 500

B) 1.000

C) 1.500

D) 2.000

E) Ninguna de las Anteriores.

Respuesta:

La Probabilidad Teórica de que al lanzar un dado aparezca un número PAR mayor que 3, es 2 de 6 posibilidades (que aparezca el 4 o el 6) ....

Al repetir un experimento muchas veces (3.000 veces), la probabilidad experimental se va a ir acercando a la teórica .... luego es altamente probable que 1.000 de las veces aparezca un número PAR mayor que 3.

Alternativa B)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III: Probabilidad y Estadística.

CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Histograma

El siguiente histograma muestra el número de familias, que viven en un edificio de departamentos y que tienen 0,1,2,3,4 niños. Si se selecciona una de estas familias al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que tengan menos de 3 niños?

A) 2/3

B) 1/4

C) 1/3

D) 1/6

E) 1/2

Respuesta: El total de familias es: 2 + 4 + 2 + 1 + 3 = 12

Tienen menos de 3 niños: 2 (sin hijos(as)) + 4 (con un hijo(a)) + 2 (con dos hijos(as))=8

Usamos la Regla de Laplace:

P(tener menos de 3 hijos(as))= 8/12 = 2/3 ; Alternativa A)

Fuente: Manual PSU matemáticas U. Católica.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Interpretación de Grafos. Histograma.

Desafío - Probabilidad

Si se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea menor o igual a 3?

A) 1/36 ; B) 2/36 ; C) 3/36 ; D) 4/36 ; E) 5/36

Respuesta:

Cuando se lanzan 2 dados hay (6x6=36) combinaciones posibles.

Solamente (1,1) ; (1,2) y (2,1) son favorables.

Probabilidad = Casos favorables/Casos Posibles = 3/36 ; Alternativa C)

Fuente: recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace.

Desafío - Probabilidades

Si se lanza un dado 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga un número mayor que 4?

A) 1/8

B) 1/9

C) 2/9

D) 2/3

E) 1/27

Respuesta: La probabilidad de que al lanzar un dado, salga un nñumero mayor que 4 es 2/6 (es decir puede salir o un 5 o un 6) ....

La probabilidad de que al lanzarlo 3 veces, sucesos independientes, las tres veces pase que salga un número mayor que 4 es: (2/6)(2/6)(2/6) = (1/3)(1/3)(1/3) = 1/27

Alternativa E)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercreo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad del Producto.

Desafío - Probabilidad

Respuesta:

Los tres ángulos señalados suman: 100 + 150 + 80 = 330º.

Luego, el ángulo correspondiente al VERDE es = 360 - 330 = 30º

Probabilidad (de VERDE)= 30/360 = 1/12

Como los 2 sucesos son independientes, entonces:

P(salga verde en ambas oportunidades) = (1/12)(1/12) = 1/144 ; Alternativa E)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Regla de Laplace.

Desafío - Probabilidad Frecuentista

La siguiente tabla muestra la distribución de las edades de un grupo de personas que trabajan en una pequeña fábrica. Si se selecciona una persona al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mayor de 25 años?

Edad: de 17 a 25 años - 15 personas

Edad: de 26 a 40 años - 23 personas

Edad: de 41 a 50 años - 7 personas

Edad: mayores de 50 años - 5 personas

A) 1/10

B) 3/10

C) 19/25

D) 7/10

E) 1

Respuesta: 15 + 23 + 7 + 5 = 50

Son mayores de 25 años:

23 (de 26 a 40) + 7 (de 41 a 50) + 5 (de 50 y más) =

= 23+7+5 = 35

La Probabilidad pedida es: 35/50 = 7/10 : Alternativa D)

Fuente: Manual PSU - U.Católica.

NEM: Cuarto Medio,

Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.

CMO: Interpretación de Tabla de Frecuencias. Estadísticas.

Desafío - Probabilidad

¿ Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas NO caigan todas iguales ?

A) 3/4 ; B) 1/2 ; C) 1/3 ; D) 2/3 ; E) 8/9

Respuesta:

Mostramos, en rojo, en el Espacio muestral, todos los casos en que las monedas no son iguales:

CCC - CCS - CSC - SCC - SSC - SCS - CSS - SSS

Son 6 de 8, Probabilidad = 6/8 = 3/4

Fuente: Mare Nostrum 3ro. Medio.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad.

Desafío - Probabilidad

María y Pedro juegan a sacar un número al azar de una bolsa que contiene los números del 1 al 12. Si el número es divisible por 3, gana María; si es divisible por 4, gana Pedro. ¿Cuál es la probabilidad de que no gane ninguno?

A) 1/3

B) 5/12

C) 7/12

D) 1/4

E) 1/2

Respuesta: P(M) Probabilidad de que gane María; P(P) Probilidad de que gane Pedro.

Números divisibles por 3 = {3,6,9,12},

Números divisibles por 4 = {4,8,12},

Número No divisibles por 3 y No divisibles por 4 = {1, 2, 5, 7, 10, 11}

P(No gane ni Pedro ni María) = 6/12 = 1/2 .... Alternativa E)

Fuente: Matemáticas 3ro. Mare Nostrum

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad

Desafío - Regla de Laplace

Se elige al azar un número entero entre los 30 primeros enteros positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo o múltiplo de 5?

A) 7/15

B) 1/2

C) 8/15

D) 9/15

E) 17/30

Respuesta:

Primo o Múltiplo de 5 = {2,3,5,7,10,11,13,15,17,19,20,23,25,29,30}

P(Primo o Múltiplo de 5) = 15/30 = 1/2 ; Alternativa B)

Fuente: Editorial Universitaria - Faccímil revisado DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace.

Desafío - Probabilidad

¿ Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultaneamente, 2 sean caras y 1 sea sello ?

A) 3/8

B) 1/8

C) 2/8

D) 1/3

E) 2/3

Respuesta:

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad. Triángulo de Pascal.

Desafío - Probabilidades

Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y Carlos un 6. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?

A) Todos tienen la probabilidad 1/2 de ganar.

B) Todos tienen la probabilidad 1/3 de ganar.

C) El que tiene más probabilidades de ganar es carlos.

D) Carlos tiene más probabilidades de ganar que Alberto.

E) Bastián tiene menos probabilidades de ganar que Alberto y Carlos.

Respuesta: Veamos, para cada uno de ellos, las combinaciones que les hacen ganadores, tras sacar lo que han sacado en el primer intento:

Primer Intento Alberto: {2}, luego gana con {2,4,6} en el segundo intento.

3 de 6 posibilidades ....

Primer Intento Bastián: {3}, luego gana con {1,3,5} en el segundo intento.

3 de 6 posibilidades ....

Primer Intento Carlos: {6}, luego con {2,4,6} en el segundo intento.

3 de 6 posibilidades ....

Luego, la alternativa correcta es A), todos tienen probabilidad 1/2 de ganar.

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace.

Desafío - Probabilidad

En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella NUNCA cae en los límites de dichos sectores.

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de 1/2.

II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de 1/4.

III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 o en el número 3 es de 2/3.

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo III.

D) Sólo I y II.

E) I, II, III.

Respuesta:

Hay 2 de 4 posibilidades de que caiga en el número 1. I) es verdadera: 2/4 = 1/2

Hay 1 de 4 posibilidades de que caiga en el número 2. II) es verdadera: 1/4

Hay 2 de 4 posibilidades de que caiga en el número 2 ó 3. III) es falsa!

Sólo I y II son verdaderas. D) es la correcta!

Fuente: DEMRE.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

Desafío - Probabilidad

Si se elige al azar un número natural, del 1 al 30, ¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea múltiplo de 4?

A) 3/30

B) 23/30

C) 7/30

D) 8/30

E) 6/30

Respuesta:

Los números, naturales, menores que 31 y múltiplos de 4 son:

{ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 } Son en total: 7

P(sacar Nro Natural entre 1 y 30 inclusive, que sea múltiplo de 4) = 7/30 ;

Alternativa C)

Fuente: DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace.

Desafío - Probabilidad

Se lanza una vez un dado común, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par menor que 5?

A) 1/6

B) 2/6

C) 3/6

D) 4/6

E) N.A.

Respuesta: Par y Menores que 5, al lanzar un dado = { 2, 4 }

P(Par y menor que 5) = 2/6 ; Alternativa B)

Fuente: DEMRE - PSU Matemáticas.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace.