¿ Cuál es el valor de x/y dado el anterior sistema ?

A) 1

B) -1

C) -1/2

D) 1/2

E) 2

Respuesta: Sumamos las 2 ecuaciones, para por reducción calcular x:

4x + 2x + y - y = 6 + 0

6x = 6

x=6/6

x=1

Luego, reemplazando en la primera ecuación:

4(1) + y = 6

y = 6 - 4

y=2

x/y = 1/2 ; Alternativa D)

Fuente: PSU - MareNostrum/P.Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones

CMO: Sistemas de Ecuaciones

Desafío - Sistema de Inecuaciones

Respuesta: En un sistema de inecuaciones de primer grado, la variable debe cumplir AMBAS inecuaciones ....

Primero resolvamos la

Veamos ahora la

x es mayor que 2 (sin incluirlo) Y x es menor que 4 (sin incluirlo .... alternativa B)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Sistemas de Inecuaciones.

Desafío - Romboide

La figura corresponde a un Romboide. Entonces ángulo "a" mide = ?

A) 20º

B) 40º

C) 60º

D) 70º

E) 90º

Respuesta: Un Romboide es un paralelógramo (un cuadrilátero -4 lados- que tiene los lados opuestos paralelos).

En los Paralelógramos -en general- se dan dos elementos:

1) Los ángulos opuestos son congruentes, en nuestro caso: (a+b=180º)

2) Los ángulos consecutivos son suplementarios, en nuestro caso: ({a-b}+{a+b}=180)

Esto da lugar a un sistema de ecuaciones (2x2), que nos permite obtener a y b.

(1) a+b=180

(2) a-b+a+b=180

(1) a+b=180

(2) 2a = 180

De acá, en forma directa sacamos que:

a = 90

Alternativa E)

Fuente: 2do.Medio - Eduardo Cid Figueroa.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Dos números son tales que su diferencia es 14 y su suma es 26. ¿Cuál es el doble del mayor?

A) 16
B) 12
C) 20
D) 30
E) 40

Respuesta: Sea X(Mayor) e Y(Menor) los números, tendremos entonces las siguientes ecuaciones:

Dos números son tales que su diferencia es 14: X - Y = 14

Su suma es 26: X + Y = 26

(1) X - Y = 14

(2) X + Y = 26

Sumando ambas ecuaciones:

2X + Y - Y = 14 + 26

2X = 40

X = 20, luego Y = 6

El doble del mayor es 40, Alternativa E)

Fuente: Texto E. Cid.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Si al numerador de una fracción se le suma 2 la fracción es (1/4); Si al denominador se le quita 6 la fracción resulta (1/6). La fracción es:

A) 1/4

B) 1/6

C) 4/6

D) 1/12

E) 1/24

Respuesta: Llamemos N al numerador, D al denominador:

(1) Si al numerador de una fracción se le suma 2, la fracción es (1/4):

(N+2)/D = 1/4

(2) Si al denominador se le quita 6, la fracción resulta (1/6):

N/(D-6) = 1/6

Multiplicando Cruzado y ordenando:

(1) 4N - D = -8

(2) 6N - D = -6

Multiplicamos (1) por (-1) y sumamos ambas ecuaciones:

(1) -4N + D = 8

(2) 6N - D = -6

2N = 2 ; entonces N=1

Reemplazando N en (1): 4(1) - D = -8 ; Entonces: D=12

La Fracción es 1/12 ; Alternativa D)

Fuente: El Mercurio - U. Sto. Tomás

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Problema de Planteo

Dos números difieren en 28 y uno de ellos es ocho novenos del otro. ¿Cuál es el número mayor?

A) 252

B) 246

C) 224

D) 218

E) 190

Respuesta: Sea M el número MAYOR y m el número menor.

Entonces tenemos 2 aseveraciones según el planteo:

1) M-m = 28

2) m = (8/9)M

Poniendo 2) en 1): M - (8/9)M = 28

Multiplicamos por 9

9M - 8M = M = (28)(9) = 252

El Mayor es 252, Alternativa A)

y el menor es 224.

Fuente: PreU. P. de Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álegbra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - PSU DEMRE 2011 - 66

Un padre le dados Su Bijo la ONU: " El Dinero Que Tu Tienes ES EL 20 % del Dinero Que Tengo yo " . Se determinar PUEDE El Dinero Que Tiene CADA UNO de ELLOS SI SE SABE que:

(1) Entre Ambos Tienen 36.000 Dólares .
(2) El padre Tiene 24.000 Dólares Más hijo El ambiente!.

A ) (1) Por Sí Sola
B ) (2) Por Sí Sola
C ) Embajador juntas , (1) y (2)
D) Una CADA Por Sí Sola , (1) ó (2)
E) Se requiere Información adicional

Respuesta : El enunciado inicial Entre Una Ecuación de primera . Llamemos "P "Lo Que Tiene El Padre y " H "Lo Que Tiene El Hijo , entonces, del enunciado :

H = (20/100) P = 0,2 P

de (1) Otra heno Ecuación : P + H = 36.000. Y ESTA Ecuación Junto a la del enunciado Hacen de las Naciones Unidas Sistema de 2 x 2 de Ser Posible resuelto .

de (2) Otra heno Ecuación : P = H + 24.000. Y ESTA Ecuación Junto a la del enunciado Hacen de las Naciones Unidas Sistema de 2 x 2 de Ser Posible resuelto .

Una CADA Por Sí Sola, Alternativa D)


Fuente : PSU - Demre 2011 - Tema 67
NEM : Segundo Medio.
Eje Temático : I. Álgebra y Funciones .
OCM : Sistemas de Ecuaciones .

Desafío - PSU DEMRE 2011 - 27

Respuesta: Si sumamos las dos ecuaciones, podemos eliminar "Y" de inmediato:

(1) 3x + 2y = 17

(2) 3x - 2y = 1

Sumando:

6x = 18

x=18/6=3

Reemplazando en (1)

3(3) + 2y = 17

9 + 2y = 17

2y = 17 - 9

2y = 8

y=4

Luego: (x-y)/y=(3-4)/4=-1/4 ; Alternativa E)

Fuente: PSU - DEMRE 2011 - Item 27
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

La solución del anterior sistema es:

A) (1,-2)

B) (1,2)

C) (2,-1)

D) (2,1)

E) (4,-1)

Respuesta: Despejando de la primera ecuación:

y = 3x - 5

Reemplazamos en la segunda ecuación:

2x - 3(3x-5) = 8

2x -9x + 15 = 8

15 - 8 = 9x - 2x

7 = 7x

x=1

Luego: y = 3(1) - 5 = -2

Respuesta: (1, -2) Alternativa A)

Fuente: 2do. medio - Cid Figueroa Eduardo.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Según el sistema anterior, ¿Cuál es el valor de y?

A) 6b

B) 3b

C) b

D) -b

E) -3b

Respuesta: Sumemos a la Primera Ecuación la segunda multiplicada por (-1)

x + y = 7a + 3b

-x + y = -7a + 3b

Sumando:

2y = 6b

y=3b,

Alternativa B)

Fuente: DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Estadísticas (Fin de semana)

El promedio de dos números es 3. Si se duplica el primer número y se quintuplica el segundo, el nuevo promedio es 9. ¿En qué razón están los números originales?

A) 2:1

B) 3:1

C) 3:2

D) 4:3

E) 5:2

Respuesta:

El promedio de 2 números es 3 implica, si llamamos x e y a los números:

(x+y)/2 = 3; entonces: x+y=6

Si duplicamos el primero y quintuplicamos el segundo: (2x+5y)/2=9, luego:

2x+5y=18

Tenemos entonces:

(1) x+y=6

(2) 2x+5y=18

de (1) y=6-x, en (2)

2x+5(6-x)=18

2x + 30 -5x = 18

30-18=5x-2x

12=3x

4=x

Luego: y=6-x=6-4=2

La razón entre ambos es 4:2=2:1, alternativa A)

Fuente: Faccímil PSU mates - PreU. Pedro Valdivia.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Estadígrafos, Promedio.

Desafío - Problema Tipo Planteo

La suma de dos cifras de un número es 8 y, si se cambia el orden de sus cifras, se obtiene otro número que vale 17 unidades menos que el doble del número de partida. ¿Cuál es el número original?

A) 71

B) 62

C) 53

D) 35

E) 44)

Respuesta: Tomaremos una convención:

X será la cifra de las decenas.

Y será la cifra de las unidades.

Entonces el número es: 10X+Y

Tenemos acorde al enunciado:

(1) X + Y = 8

(la suma de las cifras es 8)

(2) 10Y + X = 2(10X+Y) - 17

(si se cambia el orden de las cifras, se obtiene otro número que vale 17 unidades menos que el doble del número de partida)

Las ecuaciones se trabajan para dar:

(1) X + Y = 8 (Esta la multiplicamos por 8 y la sumamos a la segunda, Método REDUCCION)

(2') 19X - 8Y = 17

27=81 ..... X=3 luego

Y = 5 ; X = 3; El número original es 35, Alternativa D)

Fuente: Manual Matemáticas - Pontificia Universidad Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Método de Reducción:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Método%20de%20Reducción

Desafío - Sistema de Ecuaciones 2 x 2

La solución al anterior sistema de escuaciones es el punto:

A) (4,-1)

B) (-3,1)

C) (3,-1)

D) (-3,-1)

E) (1,-3)

Respuesta: Utilicemos el método de reducción: Multiplicamos por (-2) la primera ecuación y se la sumamos a la segunda:

(1) -2x + 4y = -10

(2) 2x - y = 7

3y = -3

y=-1

Poniendo este resultado en (1), en la original:

x - 2(-1) = 5 implica x= 3

El par que satisface es (3,-1), Alternativa C)

Fuente: Texto Autopreparación PSU Matemáticas - Eduardo Cid Figueroa

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones

Desafío - Sistema 2 x 2 SIN Solución

¿ Cuánto debe valer p en el anterior sistema, para que no tenga solución ?

A) -1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

Respuesta: Para que no haya solución, las dos rectas deben ser paralelas (NO COINCIDENTES), eso pasa cuando la razón entre los coeficientes de las "x" es la misma que la razón de los coeficientes de las "y", pero distinta de la razón entre los coeficientes libres ....

o sea:

Del primer par, desarrollamos y tenemos:

(p+1)/4 = p/3 (Simplificando por -2)

3p + 3 = 4p (Multiplicando Cruzado)

p=3

Sustituimos en cualquiera de las dos primeras proporciones:

(3+1)/4 = 1 ; que es distinto de 3!, esta verificaciñon es MUY importante, la gente suele olvidarla!

Alternativa E)

Fuente: Texto Matemática 2do. Medio - Eduardo Cid

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones de 2x2

Desafío - Problema de Planteo

SE DEBE REPARTIR US$ 45.000 ENTRE LOS HERMANOS S Y T EN PARTES PROPORCIONALES A SUS EDADES. SI ESTAS SON 6 Y 9 AÑOS, RESPECTIVAMENTE, ENTONCES LA DIFERENCIA POSITIVA DE LO QUE RECIBEN, EXPRESADA EN DOLARES ES:

a) 5.000

b) 9.000

c) 15.000

d) 27.000

e) 36.000

rESPUESTA: Usando las propias letras dadas en el problema:

S es la cantidad que tiene "S"

T es la catidad que tiene "T"

(1) S + T = 45.000

(2) S/T = 6/9 = 2/3

Despejando de (2): S = (2/3)T ...... (3)

Incluyendolo en (1): (2/3)T + T = 45.000

5T/3 = 45.000

T= 27.000

Luego en (3) S= (2/3) 27.000 = 18.000

La diferencia POSITIVA es: 27.000 - 18.000 = 9.000, Alternativa B)

Fuente: Manual PSU - Universidad Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones Exponenciales

El valor de (xy) es igual:

A) 6

B) 5

C) -6

D) -5

E) 30

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: P.Específica - 500 Ejercicios Resueltos.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuaciones Exponenciales.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Ecuaciones Exponenciales:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Ecuaci%C3%B3n%20Exponencial

Desafío - Sistema de Ecuaciones

En una prueba de 60 preguntas, Jaime omite 4 de ellas. Si la tercera parte de las preguntas que contesto correctamente es igual al número de las que contesto incorrectamente, ¿en cuántas preguntas se equivocó Jaime?

A) 14

B) 15

C) 24

D) 42

E) 19

Llamando “c” a las correctas, llamando “i” a las incorrectas, tendremos 2 ecuaciones:

FRASE: La tercera parte de las que contestó correctamente es igual al número de las incorrectas:

(1) c/3 = i

DATO: La prueba es de 60 preguntas, pero omitió 4 (entre correctas e incorrectas son 56):

(2) c + i = 56

Esto nos lleva a un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Sustituimos (1) en (2), usando el método de sustitución, que más abajo linkeamos ....

c + c/3 = 56

Multiplicamos por 3

3c + c = 168

4c = 168

c=168/4

c=42

Liego en (1): i = 42/3 = 14

c= 42, i = 14. Incorrectas = 14, Alternativa A)

NOTA Crítica : hubiese sido mejor sustituir la otra incógnita, que es lo que se pide. El sustituir la incógnita equivocada, nos lleva a tener que calcular ambas incógnitas y eso es INNECESARIO.

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Fuente: DEMRE.

NEM: segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Método de Sustitución:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Método%20de%20Sustitución

Desafío - Sistema de Ecuaciones 2 x 2

Si x e y satisfacen las ecuaciones:

x+y=8

x-y=2,

entonces el producto de x e y es igual a:

A) 16 ; B) 15 ; C) 0 ; D) -20 ; E) ninguno de los valores anteriores.

Respuesta: Se resuelve primero el sistema de 2 x 2 (dos ecuaciones con dos incógnitas) y luego se multiplican los valores de x e y. Sumando ambas ecuaciones, pues los coeficientes de x e y son iguales a 1 y de signo contrario (Con esto estamos usando el Método de Reducción que más abajo linkeamos):

Fuente: DEMRE 2008.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. funciones.

CMO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Método de Reducción:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Método%20de%20Reducción

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean repartir la cuenta en partes iguales. Si casa uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si cada uno pone 6.500 sobran 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?

A) $ 20.000
B) $ 22.000
C) $ 25.500
D) $ 26.000
E) $ 29.500

Respuesta: Llamemos "C" al dinero de la Cuenta y "n" a la cantidad de comensales. Nos interesa encontrar C.

El enunciado nos lleva a 2 ecuaciones con dos incógnitas cada una, aunque sólo me importe una de ellas (porque así lo exige el problema), el sistema es coherente para encontrar lo buscado.

(1) Si cada uno de los "n" pone 5.500, faltan 3.500 pesos:
C - nx5.500 = 3.500
(2) Si cada uno pone 6.500, sobran 500.
nx6.500 - C = 500

Dos ecuaciones, cada una con dos incógnitas.

Utilizando el Método de Reducción: Sumemos ambas (se eliminan las C):

6500n - 5500n = 4000
1000n=4000

n=4, eran 4 los comensales. Sustituyendo en (!)

C - 4x5500 = 3500
C - 22.000 = 3500
C = 25500

Alternativa C)

Fuente: DEMRE 2003
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: d. Resolución de Sistemas de Ecuaciones.
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Link al Diccio-Mates
Concepto: Método de Reducción
http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/M%C3%A9todo%20de%20Reducci%C3%B3n

Desafío - Sistema Ecuaciones

La medida de los ángulos ABC y BCA son respectivamente:

A) 25º y 65º
B) 30º y 60º
C) 40º y 50º
D) 40º y 130º
E) Falta Información.

Respuesta:

El triángulo y el ángulo exterior, nos permiten plnatear 2 ecuaciones cada una de ellas con las incógnitas X e Y (que OJO: no son las que se piden directamente).

1ra. Ecuación: La suma de los ángulos internos es 180º

x + y + 90º + 2x = 180º

3x + y = 180 - 90

3x + y = 90

2da. Ecuación: El ángulo en C y su suplemento:

2x + 3x + 2y + 25 = 180º

5x + 2y = 180 - 25 = 155

Ahota tenemos un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.

(1) 3x + y = 90

(2) 5x + 2y = 155

==============

Multiplico la primera por -2, para reducir "y"

(1') -6x - 2y = -180

(2) 5x + 2y = 155

===============

Sumando ambas ecuaciones:

- x = -25

x = 25º

Sustituyendo en (1)

3(25) + y = 90

75 + y = 90

y = 90 - 75

y = 15

Pero lo pedido NO es el valor de x e y, sino los valores de los ángulo:

Ángulo ABC = x + y = 25 + 15 = 40º

Ángulo BCA = 2x = 2(25) = 50º

Alternativa C)

Fuente: Texto Santillana - 2do. Medio

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con 2 Incógnitas.