Desafío - Función Cuadrática

Del anterior gráfico podemos afirmar que la ecuación cuadrática asociada:

A) Tiene soluciones imaginarias.

B) Tiene una raíz negativa.

C) Tiene raíces reales e iguales.

D) Tiene raíces reales distintas.

E) No tiene solución.

Respuesta: Corta en dos puntos distintos al eje Abcisas (OX), por lo tanto, hay raíces reales y distintas, 2 precisamente:

Alternativa D)

Fuente: Santillana 3ro. medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Conjunto Solución

El conjunto de solución (raíces) de la ecuación anterior es:

A) {0}

B) {1}

C) {0,1}

D) {0,-1}

E) Ninguno de los Conjuntos Anteriores.

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: DEMRE - Publicada en Faccímil PSU - PreU. U. Católica

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática INCOMPLETA

Desafío - Ecuación Cuadrática

¿ La suma de las raíces de la anterior ecuación es ?

A) 0

B) 10

C) 5

D) -10

E) 25

Respuesta: las raíces de la anterior ecuación son x1=5 y x2=-5,

x1 + x2 = 5 + (-5) = 0 ; Alternativa A)

Fuente: PSU - MareNostrum/P.Valdivia

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuaciones Cuadráticas.

Desafío - Soluciones de una Ecuación

¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones no es válida para la anterior ecuación ?

I) Tiene más de una solución.

II) Tiene exactamente dos soluciones.

III) Una de sus soluciones en NO real.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I y II

E) I y III

Respuesta: Tiene más de una solución, son exactamente 2 soluciones y las dos son Reales (esto da por falsa la III)), veamos entonces por qué es la alternativa D)

Fuente: Santillana 4to. Medio.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Exponencial.

Desafío - Raíces de una Ecuación

Respuesta: Así de simple, el discriminante tiene que ser igual a cero. Veámoslo:

Las dos raíces son iguales a -b/(2a) cuando el discriminante es igual a cero. Alternativa A)

Fuente: PSU - MareNostrum/P.Valdivia

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuaciones Segundo Grado.

Desafío - Cantidad de Soluciones

¿Cuántas soluciones tiene la anterior ecuación ?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: PSU - Mares Nostrum/P.Valdivia

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuació Cuadrática. Ecuación Cuadrática Incompleta.

Dasafío - Ecuación Irracional

La raíz cuadrada de un número aumentado en 4, sumada a dicho número es igual a 8. ¿ Cuál es el número ?

A) 12

B) 8

C) 5

D) 2

E) Ninguno de los anteriores.

Respuesta: Planteemos loq ue enuncia el problema:

Nótese que la raíz x1=12 NO sirve, pues no verifica la igualdad, veamos:

raíz (12+4) + 12 = 4 + 12 = 16, que es distinto de 8 !

Alternativa C)

Fuente: Proyecto SER - Santillana.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Irracional.

Desafío - Perímetro

Si un sitio rectangular tiene un área de 448 metros cuadrados y el largo mide 4 metros más que el doble de su ancho, su perímetro es:

A) 14 m ; B) 32 m ; C) 46 m ; D) 92 m ; Faltan datos.

Respuesta: Llamaremos "A" al ancho, expresaremos el largo en términos del ancho y luego construiremos una ecuación cuadrática en torno al área .... de allí lograremos el valor del ancho y por consiguiente el del largo .... veamos:

Alternativa D), el perímetro es 92!

Fuente: Santillana 3ro. Medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Ecuación de 2do. Grado

El cuociente de las soluciones (o raíces) de la anterior ecuación es:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

Respuesta: Veamos por qué la respuesta correcta es B)

Fuente: Editorial Universitaria - Revisión DEMRE

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Ecuación de Segundo Grado

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: DEMRE.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación de 2do. Grado.

Desafío - Parábola

Respuesta:

Alternativa E)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

COMO: Coordenadas del Vértice.

Desafío - Ecuación Cuadrática

Respuesta: Para poder discriminar respecto de las raíces (ceros de la ecuación), debemos construir el discriminante. Para ello tomamos en cuenta que:

a= 1

b= -6

c= 8

Entonces I es verdadera, cuando el discriminante es positivo, las raíces son reales y distintas.

Resolvamos la ecuación, para ello podemos factorizar como:

(x-4)(x-2) = 0

Esto arroja dos raíces POSITIVAS (x1=4, x2=2), en que una es el doble de la otra, por lo tanto II) es verdadera y III) falsa.

Alternativa C)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Ecuación Cuadrática

La anterior ecuación es dependiente del tiempo "t" en segundos. Entonces, ¿Cuánto tiempo debe trasncurrir para que se cumpla la igualdad?

A) 1 segundo.

B) 2 segundos.

C) 3 segundos.

D) 4 segundos.

E) 5 segundos.

Respuesta: Para que se cumpla la igualdad, la anterior ecuación simplificada y reordenada, nos lleva a buscar sus raíces ....

Esto nos lleva a dos raíces, pero solamente sirve la positiva porque no consideramos tiempos negativos ...

t = 4 segundos ----- Alternativa D)

Fuente: Editorial Universitaria - DEMRE.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Conjunto Solución

La ecuación anterior tiene como Conjunto Solución:

A) {-2,6}

B) {-3,4}

C) {3,-4}

D) {-3,-4}

E) {3,4}

Respuesta: El Conjunto de Solución está formado por las dos raíces de la ecuación cuadrática. Para encontrar las raíces, factorizamos:

(x-4)(x-3) = 0

Luego hay dos raíces: x1 y x2

x1=4

x2=3

El Conjunto Solución es: { 3, 4 }

Fuente: PAA Pedro de Valdivia.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Ecuación Cuadrática

Respuesta: Sabemos que una ecuación cuadrática tiene dos resultados, por tanto, tras multiplicar cruzado tendremos:

Alternativa A)

Fuente: CEPECH

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática

Desafío - Ecuación Irracional

El conjunto de solución de la anterior ecuación es:

A) {0}

B) {0,3}

C) {3}

D) {1,3}

E) {-3,3}

Respuesta:

Debemos verificar las dos raíces encontradas ....

x1=0 : CERO no sirve por cuanto raíz de 1 es +1, y no -1.

x2=3 : TRES si sirve por cuanto raíz de 4 es (3-1) = 2

Alternativa C)

Fuente: Texto E. Cid. F.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Irracional.

Desafío - Ecuación Irracional

Respuesta: Elevamos al cuadrado, para eliminar la raíz más extensa .... luego trasponemos el "2x" y volvemos a elevar al cuadrado, lo que nos lleva a una ecuación cuadrática que resolvemos con la fórmula de Baskhara:

En las ecuaciones irracionales siempre hay que verificar las soluciones encontradas, entonces, si reemplazamos x1 y x2 en la ecuación, vemos que solamente x2=6 se verifica! Alternativa C)

Fuente: Faccímil CEPECH

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuaciones Irracionales

Desafío - Logaritmos (Ecuación Logarítmica)

Respuesta:

1) Primero aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia (factor 1/3).

2) Luego elevamos al cuadrado para despejar la raíz del lado derecho.

3) Usando la variable auxiliar: u = log x, tranformamos el problema a una ecuación Cuadrática ....

veamos:

Alternativa E)

Fuente: Faccímil CEPECH

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Logarítmica.

Desafío - Polígonos

¿ Cuál es el número de lados del polígono M, sabidno que el polígono P tiene el doble número de lados y tiene 30 diagonales más que el polígono M?

A) 9 lados

B) 8 lados

C) 7 lados

D) 5 lados

E) 4 lados

Respuesta: LLamaremos "P" al número de diagonales en el polígono P, y "M" al número de diagonales en el polígono "M". Entonces, P = 2M, por el enunciado.

Luego, usando la fórmula del número de diagonales: (n)(n-3)/2, donde "n" es el número de lados del polígono tendremos una ecuación cuadrática:

Luego, de estas respuestas, la que nos sirve es M = 5, pues no puede haber un número negativo de diagonales. Alternativa D)

Fuente: Editorial Universitaria - Revisión DEMRE

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Polígono

Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígono es tres, entonces el polígono tiene:

A) 9 lados
B) 8 lados
C) 7 lados
D) 6 lados
E) 5 lados
Respuesta: Sabemos que el número de diagonales para un polígono de "n" lados es: n(n-3)/2, luego podemos plantear la siguiente ecuación:

De las dos raíces de la ecuación cuadrática, sólo nos sirve la positiv, es decir: n=6

Altermnativa D)

Fuente: PreU. P. de Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones
CMO: Geometría Básica. Ecuación de Segundo Grado.