Desafío - Llenado de un Estanque

El estanque de la figura se llena en "a" horas si de deja abierta la llave "A". Se vacío en "b" horas si de deja abierta la llave "B".

Si se comienza con el estanque a la mitad y "b" > "a", ¿Cuántas horas demorará en llenarse si las llaves se abren simultáneamente?

A) ab/(2b-2a)

B) ab/(2a-2b)

C) (2b-2a)/ab

D) 1/(2ab)

E) 2ab/(b-a)

Respuesta: De acuerdo a lo anterior y pensando separadamente, en una hora, la llave A, habrá llenado 1/a del estanque. A su vez, lallave B habrá vaciado 1/b del mismo estanque. Entonces, combinadamente ambas llaves habrán aportado: (1/a-1/b) del estanque.

Luego podemos establecer la proporción:

Alternativa A)

Fuente: 2do. Medio - Santillana Bicentenario.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.

CMO: Proporcionalidad.

Desafío - Directa Proporcionalidad

En la tabla anterior, se muestran los valores de x e y, donde x es directamente proporcional con y.

¿ Cuáles son los valores de P y Q ?

A) P = 14 ; Q = 31

B) P = 10 ; Q = 14

C) P = 10 ; Q = 31

D) P = 14 ; Q = 15

E) P = 15 ; Q = 14

Respuesta: Si dos variables son directamente proporcionales, entonces el cuociente entre ambas es una constante .... así es podemos establecer entre las dos primeras columnas:

3/7 = 6/Q, entonces: 3Q = 6x7 = 42, luego: Q=14

Y ahora apliquemos esto a la primera y tercera columna:

3/7 = P/35, entonces: 7P = 3x35 = 105, luego: P=15

Alternativa E)

Fuente: Manuel PSU - U. Católica.

NEM: Primero Medio.

Eje Temñatico: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.

CMO: Directa Proporcionalidad.

Desafío - Teorema de Thales

Respuesta: No olvidamos que cuando tenemos una proporción (igualdad entre dos razones) podemos multiplicar cruzado (productos de los extremos = producto de los medios).

En los comentarios preguntan: ¿Por qué pongo 15 si en el dibujo sale sólo 5?

Respuesta:

La proporción que se muestra, es aquella entre los lados correspondientes de 2 triángulos. El lado 10 es al lado 6, en el triángulo chico; como el lado (10+5) es a x, en el triángulo más grande.

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: teorema de Thales.

Desafío - Proporcionalidad

Si los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1:2:3, entonces podemos afirmar que el triángulo es:

A) Equilátero.

B) Isósceles no rectángulo.

C) Isósceles rectángulo.

D) Escaleno rectángulo.

E) No se puede determinar

Respuesta: Llamamos x, y y z a los ángulos del triángulo. Por proporciones continuas:

x:y:z = 1:2:3

Luego: x/1 = y/2 = z/3 = K

x = K

y = 2K

z = 3K

Pero x+y+z = 180º

Luego:

K + 2K + 3K = 180º

6K = 180, esto implica que K = 30º

Entonces: x=30º ; y=60º ; z=90º;

Recordemos esta sabiduría:

Luego: El triángulo es Escaleno Rectángulo! Alternativa D)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Primero Medio

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad

CMO: Proporciones Continuas.

Desafío - Suficiencia de Información

Se puede determinar el valor de (2a-b)/b si:

(1) a:b = 5:2

(2) a+b = 21

A) (1) por si sola.

B) (2) por si sola.

C) Cada una por si sola, (1) ó (2)

D) Ambas juntas, (1) y (2)

E) Se requiere información adicional.

Respuesta:

Si trabajamos la expresión: (2a+b)/b = 2(a/b) - 1, vemos que con sólo el valor de a/b=5/2

estamos OK.

Alternativa A)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.

CMO: Razones y Proporciones.

Desafío - PSU DEMRE 2011 - 9

Respuesta: La mitad de una parecela de 10.000 metros cudrados mide 5.000 metros cuadrados. Si está dividida en la razón 1:4, debemos dividirla en 5 partes iguales y asignar a la mayor sección 4 de estas parte y a la menor el resto:

5.000: 5 = 1.000 metros cuadrados, para la parte menor utlizada para cultivo. Alternativa E)

Fuente: PSU - DEMRE 2011 - Item 9

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.

CMO: Proporcionalidad. Razones y Proporciones.

Desafío - PSU DEMRE 2011 - 2

Respuesta:

Rosa aporta el resto, lo que falta a lo aportado por (Juan + Luis)

Rosa aporta: 1.000 - (240 + 360) = 400

Rosa recibirá proporcionalmente a lo que aporta (400/1000):

Rosa recibirá: (400/1000) x 60.000 = 24.000 Alternativa C)

Fuente: PSU - DEMRE 2011 - Item 2

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.

CMO: Razones y Proporciones.

Desafío - Razones

En el cuadrado de la figura, los puntos A, B, C, D son puntos medios de cada segmento al que pertenecen. Entonces, la razón entre la región achurada y la región en blanco es:

A) 5/3

B) 5/4

C) 3/4

D) 3/5

E) 1/4

Respuesta: Basta trazar una línea horizontal y las diagonales para ver que:

La razón entre la reagión achurada (azul) y la zona no achurada (blanco) es: 3/5 ; Alternativa D)

Fuente: Preu - Pedro de Valdivia.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.

CMO: Razones.

Desafío - Proporcionalidad

Dos electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias.

II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.

III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II, III

Respuesta:

La cantidad de electricistas (E) y la cantidad de días para hacer el trabajo (D) están en proporcionalidad inversa. Lo mismo sucede entre la cantidad de electricistas (E) y las horas de trabajo (H).

Entonces:

(E)(D)(H) = Kte.

I) Verdadera: (2)(6)(8) = (4)(3)(8)

II) Falsa: Son INVERSAMENTE proporcionales.

III) Falsa: La constante de proporcionalidad es (2)(6)(8)=96

Fuente: Texto resumen PSU - danny Perich

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 1. Proporcionalidad.

CMO: Proporcionalidad.

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Curriculum ajustado:

NEM: Educación Básica. 7mo. Básico.

Eje Temático: I. Números.

CMO: Proporcionalidad.

Desafío - Proporcionalidad

Tres máquinas confeccionan 400 pares de calcetines en 8 horas. ¿Cuántos pares de calcetines confeccionan 24 máquinas en 1 hora?

A) 225
B) 250
C) 300
D) 345
E) 400

Respuesta: Llamaremos:

Nm: Número de máquinas.

Cp: Cantidad de pares

H: Horas trabajadas.

Nm y Cp están en relación de Directa Proporcionalidad: Nm/Cp = Kte1.

Nm y H están en relación de Inversa Proporcionalidad: (Nm)(H) = Kte2.

H y CP están en relación de Directa Proporcionalidad: H/Cp=Kte3.

Estas tres combinaciones se pueden poner en una sola así:

{(Nm)(H)}/CP = Kte. Luego, usando las dos situaciones dadas:

(3)(8)/400 = (24)(1)/x

x= 400; Alternativa E)

Fuente: CEPECH Faccímil.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.
CMO: Variaciones Proporcionales.

Desafío - Proporcionalidad

Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. ¿Cuál de las siguientes relaciones representan este hecho?

Respuesta:

Dos variables x,u son directamente proporcionales cuando el cueciente entre ellas es una constante (constante de proporcionalidad), en este caso = 2. x/u = 2

Dos variables w,v son inversamente proporcionales cuando el producto de ellas es una constante (la cosntante de proporcionalidad) en este caso de valor 8. wv=8

Esto se muestra en la alternativa A)


FUENTE: DEMRE.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números Y Proporcionalidad. 1. Proporcionalidad.
CMO: Variaciones Proporcionales.

Desafío - Thales

Respuesta: Fíjense que ol trozo que está entre L2 y L3 debe ser 10/(10+10+20) = 10/40, Diez cuarte avos del del total que es 60, para que se conserve la proporcionalidad de los segmentos en ambas tranversales ....

Entonces: (10/40) de 60 = (1/4)60 = 15 , Alternativa B)

Fuente: Faccímil PSU - La Nación - 2009

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: b. Teorema de Thales.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Teorema de Thales:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Teorema%20de%20Thales

Desafío - Proporcionalidad

¿En cuál de las anteriores tablas la relación entre x e y es de proporcionalidad directa?

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo III.

D) Sólo II y III.

E) I, II, III.

Respuesta: Cuando dos variables se vinculan por Directa Proporcionalidad, el cuociente entre ellas permanece constante ....

Veamos cada una de las variables propuesta:

I) 2/4 es distintos de 3/9 y asu vez son distintos de: 4/16 y 5/25. FALSA, NO son Directamente Proporcionales.

II) 6/15 = 3/7,5 = 0,4/1 = 14/35 = 0,4 SI SON Dirtectamente Proporcionales.

III) 3/8,4 = 5/14 = 9/25,2 = 7/19,6 = 0,3571428, SI SON Directamente Proporcionales.

II) y III) son directamente proporcionales. Alternativa D)

Fuente: Faccímil PSU - PreU. U. Católica.

NEM:Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.

CMO: Directa Proporcionalidad. Variaciones Proporcionales.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Directa Proporcionalidad:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Directa%20Proporcionalidad

Desafío - Proporcionalidad

A) 256 ; B) 16 ; C) 1/16 ; D) 64 ; E) 1/64

Respuesta: Si Z es directamente proporcional a (1/Y), entonces:

z/(1/y) = Constante= K

Dividiendo: (z/1)(y/1) = zy = K

Usando el primer par de datos:

(8)(2)=16

Entonces:

ZY = 16

Sacamos "a": (a)(4)=16, entonces a = 4

Sacamos "b": (1/4)(b)=16, entonces b = 64

Luego: a/b = 4/64 = 1/16 ; Alternativa C)

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Fuente: DEMRE 2008

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 1. Números.

CMO: Propocionalidad.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Directa Proporcionalidad:

1hhttp://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Directa%20Proporcionalidad

Concepto: Inversa Proporcionalidad:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Directa%20Proporcionalidad

Desafío - Inversa Proporcionalidad

Sólo uno de los siguientes gráficos representa una relación inversamente proporcional entre y y x, ¿ Cuál de ellos ?


Respuesta: Nos están señalando la condición: que la relación entre las variables x e y es de INVERSA Proporcionalidad.

Recordamos que en las relaciones de Inversa Proporcionalidad, la curva es una HIPÉRBOLA. Esto nos acerca a las alternativas A) y D), es decir, se descartan las rectas, DEFINITIVAMENTE.

Pero además, si x e y tienen una relación de INVERSA Proporcionalidad, su producto debe ser constante ....

Operativamente: (x)(y) = Constante

Veamos caso A), allí se destacan dos pares: (1,1) y (2,1/4), revisemos:

(1,1) : (1)(1) = 1
(2,1/4) : (2)(1/4) = 1/2

NO da en cada caso la misma constante, ESTA NO ES UNA RELACION DE INVERSA PROPORCIONALIDAD.

Veamos caso D), se destacan los pares (1,2) y (2,1)

(1,2) : (1)(2) = 2
(2,1) : (2)(1) = 2

Esta sí es una relación de INVERSA PROPORCIONALIDAD, porque el producto de las variables se mantiene en la constante 2.

Alternativa D)



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Fuente: Matemáticas - 1ro. medio - Texto Estudiante - 2006 (Reyes y Valenzuela)
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Inversa Proporcionalidad.
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Link al Diccio-Mates
Concepto: Inversa Proporcionalidad
http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Inversa%20Proporcionalidad

Desafío - Proporcionalidad

Las variables A y B de la tabla adjunta tienen una relación de proporcionalidad.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas?

I) A y B son inversamente proporcionales.
II) La constante de proporcionalidad inversa es 30.
III) El valor de x es 2.


A) Sólo I.
B) Sólo I y II.
C) Sólo I y III.
D) Sólo II y III.
E) I, II, III.

Respuesta:

Nótese que la respuesta está ofreciendo revisar si hay inversa proporcionalidad ....

Sabemos que dos variables son INVERSAMENTE Proporcionales si el producto de ellas es constante:

Vemos que (10)(3) = (20)(1,5) = 30 .... por lo tanto si hay Inversa proporcionalidad y la constante es 30.

Luego: (15)(x)=30, implica que x=2

Las tres son verdaderas, I, II y III, Alternativa E)

Fuente: DEMRE - 2008
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.
CMO: Variables y cantidades inversamente proporcionales.

Desafío - Proporcionalidad

z es directamente proporcional a (1/x). Si para z=36, el valor de x=4, entonces para z=48 el valor de x=?

A) 3
B) 4
C) 5,333333....
D) 7
E) 432

Respuesta:

Alternativa A) es la correcta !
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Fuente: CEPECH
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.
CMO: Proporcionalidad Directa.